Soluzione analitica delle equazioni di stato

È ora possibile tentare una soluzione analitica delle equazioni di stato ricavate in precedenza. Come si è potuto notare l'unica differenza tra il buck e il boost risiede nel contenuto delle matrici A, B, C e D, ma non nella forma delle equazioni. Di conseguenza la soluzione, se esiste, vale per il buck, il boost e per tutte le topologie che presentano equazioni di stato riconducibili alla forma 1.13, qui ricordata: $\dot{x}={\rm A}\cdot x +{\rm B}$.

Applicando la trasformata di Laplace alle equazioni di stato otteniamo:

$$\left[\matrix{s\cdot I_l-i_l(0_-) \cr s\cdot V_c-v_c(0_-) \c... ...rix{I_l\cr V_c\cr}\right]+\left[\matrix{B_1\cr B_2\cr}\right].$$ (1.39)

Il termine B contiene, come si vede ad esempio dalla 1.16, termini variabili nel tempo ($I_o$ e $v_s$). La soluzione, in ogni caso, risulta valida solo in un piccolo intervallo (es.: solo nel tempo di ON) e di conseguenza si è assunto che i termini B risultino costanti in quell'intervallo: possano cioè variare solo durante il passaggio da una condizione di funzionamento all'altra. Una ulteriore semplificazione (che non è risultata eccessiva) assume che le variazioni dei parametri avvengano all'inizio del singolo passo di switching. I termini $B_1$ e $B_2$ assumono in questo caso la forma:

$$\matrix{B_1=\frac{\displaystyle K}{\displaystyle s} & B_2=\frac{\displaystyle H}{\displaystyle s} \cr}.$$ (1.40)

Definendo le seguenti grandezze^1.1:

$$\matrix{m=\mathop{\rm tr}A & n=\mathop{\rm det}A \cr}$$

e ricavando $I_l$ e $V_c$ dalle 1.39 si ottiene:

$$I_l=\frac{s^2\cdot i_l(0_-)+s\cdot \left[A_{12}\cdot v_c(0_-... ...0_-)+K\right]+A_{12}\cdot H-A_{22}\cdot K}{s(s-p_1)(s-p_2)}\\$$

$$V_c=\frac{s^2\cdot v_c(0_-)+s\cdot \left[A_{21}\cdot i_l(0_-... ...0_-)+H\right]+A_{21}\cdot K-A_{11}\cdot H}{s(s-p_1)(s-p_2)}\\$$

avendo posto:

$$p_{1,2}=\frac{m\pm \sqrt{m^2-4\cdot n}}{2}.$$

Per antitrasformare è possibile operare una divisione in fratti semplici:

$$I_l = \frac{\alpha}{s}+\frac{\beta}{s-p_1}+\frac{\gamma}{s-p_2}$$ (1.41)

$$V_c = \frac{\sigma}{s}+\frac{\tau}{s-p_1}+\frac{\xi}{s-p_2}$$ (1.42)

e indicando per brevità le condizioni iniziali con $v$ e ($v=V_c(0_-)$ e $i=I_l(0_-)$) si ottengono i seguenti coefficienti:

$$\alpha=\frac{A_{12}\cdot H-A_{22}\cdot K}{p_1\cdot p_2}$$ (1.43)

$$\beta=\frac{A_{12}\cdot \left(H+p_1\cdot v\right)-\left(A_{22}-p_1\right)\cdot\left(K+p_1\cdot i\right)}{p_1\cdot\left(p_1-p_2\right)}$$ (1.44)

$$\gamma=\frac{A_{12}\cdot \left(H+p_2\cdot v\right)-\left(A_{22}-p_2\right)\cdot\left(K+p_2\cdot i\right)}{p_2\cdot\left(p_2-p_1\right)}$$ (1.45)

e

$$\sigma=\frac{A_{21}\cdot K-A_{11}\cdot H}{p_1\cdot p_2}$$ (1.46)

$$\tau=\frac{\left(A_{11}-p_1\right)\cdot \left(H+p_1\cdot v\right)-A_{21}\cdot\left(K+p_1\cdot i\right)}{p_1\cdot\left(p_2-p_1\right)}$$ (1.47)

$$\xi=\frac{\left(A_{11}-p_2\right)\cdot \left(H+p_2\cdot v\right)-A_{21}\cdot\left(K+p_2\cdot i\right)}{p_2\cdot\left(p_1-p_2\right)}.$$ (1.48)

A questo punto l'antitrasformata è possibile e dalle tavole si ottiene:

$$i_l(t)=\alpha+\beta\cdot {\rm e}^{p_1\cdot t}+\gamma\cdot {\rm e}^{p_2\cdot t}$$ (1.49)

$$v_c(t)=\sigma+\tau\cdot {\rm e}^{p_1\cdot t}+\xi\cdot {\rm e}^{p_2\cdot t}$$ (1.50)

Da quest'ultima soluzione (completa) si può ricavare la soluzione per lo stato di IDLE dell'alimentatore, caratterizzato da $\mathop{\rm det}A=0$ (in particolare $A_{11}=A_{12}=A_{21}=0$), ottenendo:

$$i_l(t)=0$$ (1.51)

$$v_c(t)=\left(v-\frac{H}{A_{22}}\right)+\frac{H}{A_{22}}\cdot {\rm e}^{A_{22}\cdot t}.$$ (1.52)

Queste soluzioni permettono quindi di valutare gli stati dopo un certo istante di tempo, noto il valore degli stati all'istante iniziale. Esse sono valide con le condizioni ricordate in precedenza, essenzialmente l'invarianza dei parametri all'interno della singola condizione di funzionamento^1.2 e su queste equazioni si basa il simulatore realizzato.