Buck

Scegliendo come stati del circuito la corrente nell'induttore

e la tensione

, e come uscite interessanti la tensione

sul carico e la corrente

di ingresso si ottiene, per lo stato di ON (figura 1.2):

$\displaystyle \frac{{\rm\,d}i_l}{{\rm\,d}t}$	$\textstyle =$	$\displaystyle -\frac{1}{L}\left(~R_l+R_{ON}+R_o\Vert R_c\right)i_l-\frac{1}{L}\... ...}{R_o+R_c}\cdot v_c+\frac{1}{L}v_s+\frac{I_o}{L}\cdot \left(R_o\Vert R_c\right)$	(1.1)
$\displaystyle \frac{{\rm\,d}v_c}{{\rm\,d}t}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{1}{C}\cdot \frac{R_o}{R_o+R_c}\cdot i_l-\frac{1}{C}\cdot \frac{1}{R_o+R_c}\cdot v_c-\frac{1}{C}\cdot I_o\cdot \frac{R_o}{R_o+R_c}$	(1.2)
$\displaystyle i_s$	$\textstyle =$	$\displaystyle i_l$	(1.3)
$\displaystyle v_o$	$\textstyle =$	$\displaystyle i_l\left(R_o\Vert R_c\right)+v_c\cdot \frac{R_o}{R_o+R_c}-I_o\cdot \left( R_o\Vert R_c\right)$	(1.4)

Per lo stato di OFF risulta (figura 1.3):

$\displaystyle \frac{{\rm\,d}i_l}{{\rm\,d}t}$	$\textstyle =$	$\displaystyle -\frac{1}{L}\left(R_l+R_d+R_o\Vert R_c\right)i_l-\frac{1}{L}\cdot... ...{R_o+R_c}\cdot v_c+\frac{1}{L}v_d+\frac{1}{L}\cdot I_o\left(R_o\Vert R_c\right)$	(1.5)
$\displaystyle \frac{{\rm\,d}v_c}{{\rm\,d}t}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{1}{C}\cdot \frac{R_o}{R_o+R_c}\cdot i_l-\frac{1}{C}\cdot \frac{1}{R_o+R_c}\cdot v_c-\frac{1}{C}\cdot I_o\cdot \frac{R_o}{R_o+R_c}$	(1.6)
$\displaystyle i_s$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$	(1.7)
$\displaystyle v_o$	$\textstyle =$	$\displaystyle i_l\left(R_o\Vert R_c\right)+v_c\cdot \frac{R_o}{R_o+R_c}-I_o\cdot \left( R_o\Vert R_c\right)$	(1.8)

Infine, per lo stato di IDLE si ottiene (figura 1.4):

$\displaystyle \frac{{\rm\,d}i_l}{{\rm\,d}t}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$	(1.9)
$\displaystyle \frac{{\rm\,d}v_c}{{\rm\,d}t}$	$\textstyle =$	$\displaystyle -\frac{1}{C}\cdot \frac{1}{R_o+R_c}\cdot v_c-\frac{1}{C}\cdot I_o \cdot \frac{R_o}{R_o+R_c}$	(1.10)
$\displaystyle i_s$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$	(1.11)
$\displaystyle v_o$	$\textstyle =$	$\displaystyle v_c\cdot \left(R_o\Vert R_c\right)-I_o\cdot \left( R_o\Vert R_c\right)$	(1.12)

È ora possibile scrivere le equazioni in forma matriciale:

$\displaystyle \dot{x}={\rm A}\cdot x +{\rm B}$			(1.13)
$\displaystyle y={\rm C}\cdot x+{\rm D}$			(1.14)

avendo posto gli stati: $x=\left[\matrix{i_l & v_c\cr}\right]^T$ e le uscite: $y=\left[\matrix{i_s & v_o\cr}\right]^T$ . Le matrici ${\rm A}$ , ${\rm B}$ , ${\rm C}$ e ${\rm D}$ dipendono dalla condizione di funzionamento ed in particolare risultano le seguenti:

Per lo stato di ON si ottiene dalle 1.1...1.4 le seguenti matrici:

		$\displaystyle {\rm A_{ON}}=\left[\matrix{ -\frac{1}{L}\left(R_l+R_{ON}+R_o\Vert R_c\right)$	(1.15)
		$\displaystyle {\rm B_{ON}}=\left[\matrix{ \frac{1}{L}$	(1.16)
		$\displaystyle {\rm C_{ON}}=\left[\matrix{1$	(1.17)
		$\displaystyle {\rm D_{ON}}=\left[\matrix{ 0$	(1.18)

Analogamente per lo stato di OFF:

		$\displaystyle {\rm A_{OFF}}=\left[\matrix{ -\frac{1}{L}\left(R_l+R_d+R_o\Vert R_c\right)$	(1.19)
		$\displaystyle {\rm B_{OFF}}=\left[\matrix{ -\frac{1}{L}$	(1.20)
		$\displaystyle {\rm C_{OFF}}=\left[\matrix{0$	(1.21)
		$\displaystyle {\rm D_{OFF}}=\left[\matrix{ 0$	(1.22)

Concludendo con lo stato di IDLE:

		$\displaystyle {\rm A_{IDLE}}=\left[\matrix{ 0$	(1.23)
		$\displaystyle {\rm B_{IDLE}}=\left[\matrix{ 0$	(1.24)
		$\displaystyle {\rm C_{IDLE}}=\left[\matrix{0$	(1.25)
		$\displaystyle {\rm D_{IDLE}}=\left[\matrix{ 0$	(1.26)

Bofh 2004-02-09