Equazioni di stato

Esistono varie possibilità per trattare un sistema non lineare come è un alimentatore switching. Tra queste la più usata è la determinazione di un modello mediato nello spazio degli stati che riduce il circuito variabile nel tempo dell'alimentatore a un circuito invariante nel tempo, lineare e facilmente trattabile con i metodi classici. Questo modello risulta essere utile ai fini dell'analisi del comportamento del circuito, in quanto permette di ricavare una funzione di trasferimento nel dominio della frequenza. Da quest'ultima risulta facile valutare i poli e gli zeri del circuito, cosa che permette il progetto in base alle specifiche di frequenza di switching. Una trattazione esauriente di questa metodologia si può trovare in [1].

L'interesse di questa tesi è invece orientato allo studio di metodologie di controllo digitale dell'alimentatore. Pertanto interessa la possibilità di simulare facilmente l'insieme alimentatore (analogico) e controllo (digitale).

È stato esaminato l'utilizzo di SPICE. L'approccio è stato immediatamente abbandonato per via della eccessiva lentezza nell'analisi da parte del simulatore. Inoltre SPICE non è nato per simulazioni digitali e quindi mal si adatta alle nostre esigenze.

D'altronde esiste l'alternativa VHDL. Questo linguaggio ben si presta a simulazioni di circuiti digitali ma un certo sforzo è richiesto per inserire componenti analogiche.

L'ultima alternativa praticabile (e poi effettivamente scelta) è quella della realizzazione ad hoc di un programma in C che simuli il sistema completo. Lo sforzo iniziale richiesto è rilevante ma la flessibilità intrinseca in questo linguaggio consente la realizzazione di un simulatore meglio integrato nell'ambiente operativo scelto (nel caso, workstation) e il facile ampliamento delle caratteristiche qualora se ne presentasse la necessità.

Il modello scelto per la simulazione dell'alimentatore switching si basa sull'osservazione che in ciascuna delle due (o tre) fasi di funzionamento l'alimentatore si presenta come un circuito lineare e invariante nel tempo. In esso lo stato degli elementi attivi (diodo e transistore) viene approssimato come segue:

• Diodo in conduzione: serie di $V_d$ (caduta sul diodo) e $R_d$ (resistenza di perdita).
• Diodo in interdizione: circuito aperto.
• Mosfet in saturazione: resistenza di conduzione $R_{ON}$.
• Mosfet in interdizione: circuito aperto.

Si è inoltre verificata l'importanza della corretta modellizzazione degli elementi L e C del circuito, in quanto i parametri parassiti di L ma soprattutto di C deteriorano la risposta al transitorio del gruppo LC. Una scelta di compromesso che consentisse di evitare l'introduzione di stati aggiuntivi nel sistema è stata la seguente:

• Induttore: serie di una induttanza $L$ più una resistenza $R_l$ costituita dalla resistenza del filo dell'avvolgimento.
• Condensatore: serie di una capacità $C$ più una resistenza $R_c$, dovuta essenzialmente al non perfetto isolamento del dielettrico del condensatore.

Per ognuna delle condizioni di funzionamento è possibile determinare le equazioni di stato del circuito, integrandole (o risolvendole) e valutare gli stati e le uscite del sistema in quell'intervallo di tempo. Gli intervalli di tempo sono noti in quanto il passaggio dallo stato di ON allo stato di OFF è governato dalla apertura del transistore, mentre il passaggio dallo stato di OFF all'eventuale stato di IDLE (non noto a priori) è facilmente determinabile osservando l'istante in cui la corrente $I_l$ nell'induttore raggiunge il valore zero. Un'ultima scelta prevede l'alternativa tra l'integrazione delle equazioni di stato in modo numerico e la risoluzione analitica delle stesse. Tra le due è stata scelta la seconda via in quanto effettivamente praticabile (le equazioni sono risolvibili analiticamente).

Si può, quindi, per ognuna delle tre condizioni di funzionamento, scrivere le corrispondenti equazioni di stato. La procedura è sviluppata in dettaglio per il buck mentre per il boost vengono riportati solo i risultati.